3.1249 \(\int \frac {(a+b \tan (e+f x))^2}{\sqrt {c+d \tan (e+f x)}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=134 \[ -\frac {i (a-i b)^2 \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt {c-i d}}\right )}{f \sqrt {c-i d}}+\frac {i (a+i b)^2 \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt {c+i d}}\right )}{f \sqrt {c+i d}}+\frac {2 b^2 \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{d f} \]

[Out]

-I*(a-I*b)^2*arctanh((c+d*tan(f*x+e))^(1/2)/(c-I*d)^(1/2))/f/(c-I*d)^(1/2)+I*(a+I*b)^2*arctanh((c+d*tan(f*x+e)
)^(1/2)/(c+I*d)^(1/2))/f/(c+I*d)^(1/2)+2*b^2*(c+d*tan(f*x+e))^(1/2)/d/f

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.25, antiderivative size = 134, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 8, number of rules used = 5, integrand size = 27, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.185, Rules used = {3543, 3539, 3537, 63, 208} \[ -\frac {i (a-i b)^2 \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt {c-i d}}\right )}{f \sqrt {c-i d}}+\frac {i (a+i b)^2 \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt {c+i d}}\right )}{f \sqrt {c+i d}}+\frac {2 b^2 \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{d f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*Tan[e + f*x])^2/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]],x]

[Out]

((-I)*(a - I*b)^2*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/(Sqrt[c - I*d]*f) + (I*(a + I*b)^2*ArcTanh[
Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/(Sqrt[c + I*d]*f) + (2*b^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/(d*f)

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rule 3537

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c*
d)/f, Subst[Int[(a + (b*x)/d)^m/(d^2 + c*x), x], x, d*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[c^2 + d^2, 0]

Rule 3539

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c
+ I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(1 - I*Tan[e + f*x]), x], x] + Dist[(c - I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x]
)^m*(1 + I*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0]
&& NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

Rule 3543

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^2, x_Symbol] :> Simp[
(d^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1))/(b*f*(m + 1)), x] + Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*Simp[c^2 - d^2 + 2*c*d*Tan[e
+ f*x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] &&  !LeQ[m, -1] &&  !(EqQ[m, 2] && EqQ
[a, 0])

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {(a+b \tan (e+f x))^2}{\sqrt {c+d \tan (e+f x)}} \, dx &=\frac {2 b^2 \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{d f}+\int \frac {a^2-b^2+2 a b \tan (e+f x)}{\sqrt {c+d \tan (e+f x)}} \, dx\\ &=\frac {2 b^2 \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{d f}+\frac {1}{2} (a-i b)^2 \int \frac {1+i \tan (e+f x)}{\sqrt {c+d \tan (e+f x)}} \, dx+\frac {1}{2} (a+i b)^2 \int \frac {1-i \tan (e+f x)}{\sqrt {c+d \tan (e+f x)}} \, dx\\ &=\frac {2 b^2 \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{d f}+\frac {\left (i (a-i b)^2\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{(-1+x) \sqrt {c-i d x}} \, dx,x,i \tan (e+f x)\right )}{2 f}-\frac {\left (i (a+i b)^2\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{(-1+x) \sqrt {c+i d x}} \, dx,x,-i \tan (e+f x)\right )}{2 f}\\ &=\frac {2 b^2 \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{d f}-\frac {(a-i b)^2 \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{-1-\frac {i c}{d}+\frac {i x^2}{d}} \, dx,x,\sqrt {c+d \tan (e+f x)}\right )}{d f}-\frac {(a+i b)^2 \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{-1+\frac {i c}{d}-\frac {i x^2}{d}} \, dx,x,\sqrt {c+d \tan (e+f x)}\right )}{d f}\\ &=-\frac {i (a-i b)^2 \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt {c-i d}}\right )}{\sqrt {c-i d} f}+\frac {i (a+i b)^2 \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt {c+i d}}\right )}{\sqrt {c+i d} f}+\frac {2 b^2 \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{d f}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.22, size = 129, normalized size = 0.96 \[ \frac {-\frac {i (a-i b)^2 \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt {c-i d}}\right )}{\sqrt {c-i d}}+\frac {i (a+i b)^2 \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{\sqrt {c+i d}}\right )}{\sqrt {c+i d}}+\frac {2 b^2 \sqrt {c+d \tan (e+f x)}}{d}}{f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*Tan[e + f*x])^2/Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]],x]

[Out]

(((-I)*(a - I*b)^2*ArcTanh[Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c - I*d]])/Sqrt[c - I*d] + (I*(a + I*b)^2*ArcTanh[Sqr
t[c + d*Tan[e + f*x]]/Sqrt[c + I*d]])/Sqrt[c + I*d] + (2*b^2*Sqrt[c + d*Tan[e + f*x]])/d)/f

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 164.75, size = 14923, normalized size = 111.37 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/4*(4*sqrt(2)*(c^2*d + d^3)*f^5*sqrt((((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c^2*d + (a^4 - 6*a^2*b
^2 + b^4)*c*d^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*d^3)*f^2*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)
*f^4)) + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^2 + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)
*d^2)/(16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*
b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2))*sqrt((16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3
+ 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/((c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4)*f
^4))*((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4))^(3/4)*arctan(((4*(a^15*b + 5*a^13*b^3
+ 9*a^11*b^5 + 5*a^9*b^7 - 5*a^7*b^9 - 9*a^5*b^11 - 5*a^3*b^13 - a*b^15)*c^5 - (a^16 - 20*a^12*b^4 - 64*a^10*
b^6 - 90*a^8*b^8 - 64*a^6*b^10 - 20*a^4*b^12 + b^16)*c^4*d + 8*(a^15*b + 5*a^13*b^3 + 9*a^11*b^5 + 5*a^9*b^7 -
5*a^7*b^9 - 9*a^5*b^11 - 5*a^3*b^13 - a*b^15)*c^3*d^2 - 2*(a^16 - 20*a^12*b^4 - 64*a^10*b^6 - 90*a^8*b^8 - 64
*a^6*b^10 - 20*a^4*b^12 + b^16)*c^2*d^3 + 4*(a^15*b + 5*a^13*b^3 + 9*a^11*b^5 + 5*a^9*b^7 - 5*a^7*b^9 - 9*a^5*
b^11 - 5*a^3*b^13 - a*b^15)*c*d^4 - (a^16 - 20*a^12*b^4 - 64*a^10*b^6 - 90*a^8*b^8 - 64*a^6*b^10 - 20*a^4*b^12
+ b^16)*d^5)*f^4*sqrt((16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d
+ (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/((c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4)*f^4))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^
2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + (4*(a^19*b + 7*a^17*b^3 + 20*a^15*b^5 + 28*a^13*b^7 + 14
*a^11*b^9 - 14*a^9*b^11 - 28*a^7*b^13 - 20*a^5*b^15 - 7*a^3*b^17 - a*b^19)*c^4 - (a^20 + 2*a^18*b^2 - 19*a^16*
b^4 - 104*a^14*b^6 - 238*a^12*b^8 - 308*a^10*b^10 - 238*a^8*b^12 - 104*a^6*b^14 - 19*a^4*b^16 + 2*a^2*b^18 + b
^20)*c^3*d + 4*(a^19*b + 7*a^17*b^3 + 20*a^15*b^5 + 28*a^13*b^7 + 14*a^11*b^9 - 14*a^9*b^11 - 28*a^7*b^13 - 20
*a^5*b^15 - 7*a^3*b^17 - a*b^19)*c^2*d^2 - (a^20 + 2*a^18*b^2 - 19*a^16*b^4 - 104*a^14*b^6 - 238*a^12*b^8 - 30
8*a^10*b^10 - 238*a^8*b^12 - 104*a^6*b^14 - 19*a^4*b^16 + 2*a^2*b^18 + b^20)*c*d^3)*f^2*sqrt((16*(a^6*b^2 - 2*
a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a
^2*b^6 + b^8)*d^2)/((c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4)*f^4)) + sqrt(2)*((2*a*b*c^5 + 4*a*b*c^3*d^2 + 2*a*b*c*d^4 - (a^2 -
b^2)*c^4*d - 2*(a^2 - b^2)*c^2*d^3 - (a^2 - b^2)*d^5)*f^7*sqrt((16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a
^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/((c^4 + 2*
c^2*d^2 + d^4)*f^4))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + 2*((a^5*b + 2*a
^3*b^3 + a*b^5)*c^4 + 2*(a^5*b + 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^2*d^2 + (a^5*b + 2*a^3*b^3 + a*b^5)*d^4)*f^5*sqrt((16*(a
^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4
*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/((c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4)*f^4)))*sqrt((((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + 4*(a^3*b -
a*b^3)*c^2*d + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c*d^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*d^3)*f^2*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 +
4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^2 + (a^8 + 4*a^6*b^2 +
6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/(16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5
- a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2))*sqrt(((16*(a^10*b^2 - 2*a^6*b^6 + a^2*
b^10)*c^4 - 8*(a^11*b - 5*a^9*b^3 - 6*a^7*b^5 + 6*a^5*b^7 + 5*a^3*b^9 - a*b^11)*c^3*d + (a^12 + 6*a^10*b^2 + 1
5*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*c^2*d^2 - 8*(a^11*b - 5*a^9*b^3 - 6*a^7*b^5 + 6*a^5*b
^7 + 5*a^3*b^9 - a*b^11)*c*d^3 + (a^12 - 10*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 52*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 - 10*a^2*b^10 + b^
12)*d^4)*f^2*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4))*cos(f*x + e) + sqrt(2)*(2
*(16*(a^7*b^3 - 2*a^5*b^5 + a^3*b^7)*c^4 - 8*(a^8*b^2 - 7*a^6*b^4 + 7*a^4*b^6 - a^2*b^8)*c^3*d + (a^9*b + 4*a^
7*b^3 + 6*a^5*b^5 + 4*a^3*b^7 + a*b^9)*c^2*d^2 - 8*(a^8*b^2 - 7*a^6*b^4 + 7*a^4*b^6 - a^2*b^8)*c*d^3 + (a^9*b
- 12*a^7*b^3 + 38*a^5*b^5 - 12*a^3*b^7 + a*b^9)*d^4)*f^3*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/
((c^2 + d^2)*f^4))*cos(f*x + e) + (32*(a^11*b^3 - 2*a^7*b^7 + a^3*b^11)*c^3 - 32*(a^12*b^2 - 3*a^10*b^4 - 4*a^
8*b^6 + 4*a^6*b^8 + 3*a^4*b^10 - a^2*b^12)*c^2*d + 2*(5*a^13*b - 34*a^11*b^3 + 11*a^9*b^5 + 100*a^7*b^7 + 11*a
^5*b^9 - 34*a^3*b^11 + 5*a*b^13)*c*d^2 - (a^14 - 11*a^12*b^2 + 25*a^10*b^4 + 37*a^8*b^6 - 37*a^6*b^8 - 25*a^4*
b^10 + 11*a^2*b^12 - b^14)*d^3)*f*cos(f*x + e))*sqrt((((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c^2*d +
(a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c*d^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*d^3)*f^2*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^
8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^2 + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4
*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/(16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d +
(a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2))*sqrt((c*cos(f*x + e) + d*sin(f*x + e))/cos(f*x + e))
*((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4))^(1/4) + (16*(a^14*b^2 + 2*a^12*b^4 - a^10
*b^6 - 4*a^8*b^8 - a^6*b^10 + 2*a^4*b^12 + a^2*b^14)*c^3 - 8*(a^15*b - 3*a^13*b^3 - 15*a^11*b^5 - 11*a^9*b^7 +
11*a^7*b^9 + 15*a^5*b^11 + 3*a^3*b^13 - a*b^15)*c^2*d + (a^16 - 8*a^14*b^2 - 4*a^12*b^4 + 72*a^10*b^6 + 134*a
^8*b^8 + 72*a^6*b^10 - 4*a^4*b^12 - 8*a^2*b^14 + b^16)*c*d^2)*cos(f*x + e) + (16*(a^14*b^2 + 2*a^12*b^4 - a^10
*b^6 - 4*a^8*b^8 - a^6*b^10 + 2*a^4*b^12 + a^2*b^14)*c^2*d - 8*(a^15*b - 3*a^13*b^3 - 15*a^11*b^5 - 11*a^9*b^7
+ 11*a^7*b^9 + 15*a^5*b^11 + 3*a^3*b^13 - a*b^15)*c*d^2 + (a^16 - 8*a^14*b^2 - 4*a^12*b^4 + 72*a^10*b^6 + 134
*a^8*b^8 + 72*a^6*b^10 - 4*a^4*b^12 - 8*a^2*b^14 + b^16)*d^3)*sin(f*x + e))/cos(f*x + e))*((a^8 + 4*a^6*b^2 +
6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4))^(3/4) + sqrt(2)*((8*(a^8*b^2 + a^6*b^4 - a^4*b^6 - a^2*b^8)*c^
6 - 2*(3*a^9*b - 4*a^7*b^3 - 14*a^5*b^5 - 4*a^3*b^7 + 3*a*b^9)*c^5*d + (a^10 + 11*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 - 10*a^
4*b^6 - 11*a^2*b^8 - b^10)*c^4*d^2 - 4*(3*a^9*b - 4*a^7*b^3 - 14*a^5*b^5 - 4*a^3*b^7 + 3*a*b^9)*c^3*d^3 + 2*(a
^10 - a^8*b^2 - 2*a^6*b^4 + 2*a^4*b^6 + a^2*b^8 - b^10)*c^2*d^4 - 2*(3*a^9*b - 4*a^7*b^3 - 14*a^5*b^5 - 4*a^3*
b^7 + 3*a*b^9)*c*d^5 + (a^10 - 5*a^8*b^2 - 6*a^6*b^4 + 6*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 - b^10)*d^6)*f^7*sqrt((16*(a^6*b^
2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4
- 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/((c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4)*f^4))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/(
(c^2 + d^2)*f^4)) + 2*(4*(a^12*b^2 + 3*a^10*b^4 + 2*a^8*b^6 - 2*a^6*b^8 - 3*a^4*b^10 - a^2*b^12)*c^5 - (a^13*b
- 2*a^11*b^3 - 17*a^9*b^5 - 28*a^7*b^7 - 17*a^5*b^9 - 2*a^3*b^11 + a*b^13)*c^4*d + 8*(a^12*b^2 + 3*a^10*b^4 +
2*a^8*b^6 - 2*a^6*b^8 - 3*a^4*b^10 - a^2*b^12)*c^3*d^2 - 2*(a^13*b - 2*a^11*b^3 - 17*a^9*b^5 - 28*a^7*b^7 - 1
7*a^5*b^9 - 2*a^3*b^11 + a*b^13)*c^2*d^3 + 4*(a^12*b^2 + 3*a^10*b^4 + 2*a^8*b^6 - 2*a^6*b^8 - 3*a^4*b^10 - a^2
*b^12)*c*d^4 - (a^13*b - 2*a^11*b^3 - 17*a^9*b^5 - 28*a^7*b^7 - 17*a^5*b^9 - 2*a^3*b^11 + a*b^13)*d^5)*f^5*sqr
t((16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2
+ 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/((c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4)*f^4)))*sqrt((((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + 4*(
a^3*b - a*b^3)*c^2*d + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c*d^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*d^3)*f^2*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^
4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^2 + (a^8 + 4*a
^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/(16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*
a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2))*sqrt((c*cos(f*x + e) + d*sin(f
*x + e))/cos(f*x + e))*((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4))^(3/4))/(16*(a^22*b^
2 + 6*a^20*b^4 + 13*a^18*b^6 + 8*a^16*b^8 - 14*a^14*b^10 - 28*a^12*b^12 - 14*a^10*b^14 + 8*a^8*b^16 + 13*a^6*b
^18 + 6*a^4*b^20 + a^2*b^22)*c^2*d - 8*(a^23*b + a^21*b^3 - 21*a^19*b^5 - 85*a^17*b^7 - 134*a^15*b^9 - 70*a^13
*b^11 + 70*a^11*b^13 + 134*a^9*b^15 + 85*a^7*b^17 + 21*a^5*b^19 - a^3*b^21 - a*b^23)*c*d^2 + (a^24 - 4*a^22*b^
2 - 30*a^20*b^4 + 12*a^18*b^6 + 367*a^16*b^8 + 1016*a^14*b^10 + 1372*a^12*b^12 + 1016*a^10*b^14 + 367*a^8*b^16
+ 12*a^6*b^18 - 30*a^4*b^20 - 4*a^2*b^22 + b^24)*d^3)) + 4*sqrt(2)*(c^2*d + d^3)*f^5*sqrt((((a^4 - 6*a^2*b^2
+ b^4)*c^3 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c^2*d + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c*d^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*d^3)*f^2*sqrt((a^8 +
4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*
c^2 + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/(16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b
- 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2))*sqrt((16*(a^6*
b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^
4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/((c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4)*f^4))*((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c
^2 + d^2)*f^4))^(3/4)*arctan(-((4*(a^15*b + 5*a^13*b^3 + 9*a^11*b^5 + 5*a^9*b^7 - 5*a^7*b^9 - 9*a^5*b^11 - 5*a
^3*b^13 - a*b^15)*c^5 - (a^16 - 20*a^12*b^4 - 64*a^10*b^6 - 90*a^8*b^8 - 64*a^6*b^10 - 20*a^4*b^12 + b^16)*c^4
*d + 8*(a^15*b + 5*a^13*b^3 + 9*a^11*b^5 + 5*a^9*b^7 - 5*a^7*b^9 - 9*a^5*b^11 - 5*a^3*b^13 - a*b^15)*c^3*d^2 -
2*(a^16 - 20*a^12*b^4 - 64*a^10*b^6 - 90*a^8*b^8 - 64*a^6*b^10 - 20*a^4*b^12 + b^16)*c^2*d^3 + 4*(a^15*b + 5*
a^13*b^3 + 9*a^11*b^5 + 5*a^9*b^7 - 5*a^7*b^9 - 9*a^5*b^11 - 5*a^3*b^13 - a*b^15)*c*d^4 - (a^16 - 20*a^12*b^4
- 64*a^10*b^6 - 90*a^8*b^8 - 64*a^6*b^10 - 20*a^4*b^12 + b^16)*d^5)*f^4*sqrt((16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^
6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^
2)/((c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4)*f^4))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + (4
*(a^19*b + 7*a^17*b^3 + 20*a^15*b^5 + 28*a^13*b^7 + 14*a^11*b^9 - 14*a^9*b^11 - 28*a^7*b^13 - 20*a^5*b^15 - 7*
a^3*b^17 - a*b^19)*c^4 - (a^20 + 2*a^18*b^2 - 19*a^16*b^4 - 104*a^14*b^6 - 238*a^12*b^8 - 308*a^10*b^10 - 238*
a^8*b^12 - 104*a^6*b^14 - 19*a^4*b^16 + 2*a^2*b^18 + b^20)*c^3*d + 4*(a^19*b + 7*a^17*b^3 + 20*a^15*b^5 + 28*a
^13*b^7 + 14*a^11*b^9 - 14*a^9*b^11 - 28*a^7*b^13 - 20*a^5*b^15 - 7*a^3*b^17 - a*b^19)*c^2*d^2 - (a^20 + 2*a^1
8*b^2 - 19*a^16*b^4 - 104*a^14*b^6 - 238*a^12*b^8 - 308*a^10*b^10 - 238*a^8*b^12 - 104*a^6*b^14 - 19*a^4*b^16
+ 2*a^2*b^18 + b^20)*c*d^3)*f^2*sqrt((16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^
5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/((c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4)*f^4)) - sqrt
(2)*((2*a*b*c^5 + 4*a*b*c^3*d^2 + 2*a*b*c*d^4 - (a^2 - b^2)*c^4*d - 2*(a^2 - b^2)*c^2*d^3 - (a^2 - b^2)*d^5)*f
^7*sqrt((16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^
6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/((c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4)*f^4))*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 +
4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + 2*((a^5*b + 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^4 + 2*(a^5*b + 2*a^3*b^3 + a*b^5)*c^2*
d^2 + (a^5*b + 2*a^3*b^3 + a*b^5)*d^4)*f^5*sqrt((16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3
+ 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/((c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4)*f
^4)))*sqrt((((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c^2*d + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c*d^2 + 4*(a^3*b
- a*b^3)*d^3)*f^2*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + (a^8 + 4*a^6*b^2 +
6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^2 + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/(16*(a^6*b^2 - 2*a^4*
b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b
^6 + b^8)*d^2))*sqrt(((16*(a^10*b^2 - 2*a^6*b^6 + a^2*b^10)*c^4 - 8*(a^11*b - 5*a^9*b^3 - 6*a^7*b^5 + 6*a^5*b^
7 + 5*a^3*b^9 - a*b^11)*c^3*d + (a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)
*c^2*d^2 - 8*(a^11*b - 5*a^9*b^3 - 6*a^7*b^5 + 6*a^5*b^7 + 5*a^3*b^9 - a*b^11)*c*d^3 + (a^12 - 10*a^10*b^2 + 1
5*a^8*b^4 + 52*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 - 10*a^2*b^10 + b^12)*d^4)*f^2*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b
^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4))*cos(f*x + e) - sqrt(2)*(2*(16*(a^7*b^3 - 2*a^5*b^5 + a^3*b^7)*c^4 - 8*(a^8*b^2 -
7*a^6*b^4 + 7*a^4*b^6 - a^2*b^8)*c^3*d + (a^9*b + 4*a^7*b^3 + 6*a^5*b^5 + 4*a^3*b^7 + a*b^9)*c^2*d^2 - 8*(a^8*
b^2 - 7*a^6*b^4 + 7*a^4*b^6 - a^2*b^8)*c*d^3 + (a^9*b - 12*a^7*b^3 + 38*a^5*b^5 - 12*a^3*b^7 + a*b^9)*d^4)*f^3
*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4))*cos(f*x + e) + (32*(a^11*b^3 - 2*a^7*
b^7 + a^3*b^11)*c^3 - 32*(a^12*b^2 - 3*a^10*b^4 - 4*a^8*b^6 + 4*a^6*b^8 + 3*a^4*b^10 - a^2*b^12)*c^2*d + 2*(5*
a^13*b - 34*a^11*b^3 + 11*a^9*b^5 + 100*a^7*b^7 + 11*a^5*b^9 - 34*a^3*b^11 + 5*a*b^13)*c*d^2 - (a^14 - 11*a^12
*b^2 + 25*a^10*b^4 + 37*a^8*b^6 - 37*a^6*b^8 - 25*a^4*b^10 + 11*a^2*b^12 - b^14)*d^3)*f*cos(f*x + e))*sqrt((((
a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c^2*d + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c*d^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*d^3)*
f^2*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4
*a^2*b^6 + b^8)*c^2 + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/(16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)
*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2)
)*sqrt((c*cos(f*x + e) + d*sin(f*x + e))/cos(f*x + e))*((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2
+ d^2)*f^4))^(1/4) + (16*(a^14*b^2 + 2*a^12*b^4 - a^10*b^6 - 4*a^8*b^8 - a^6*b^10 + 2*a^4*b^12 + a^2*b^14)*c^3
- 8*(a^15*b - 3*a^13*b^3 - 15*a^11*b^5 - 11*a^9*b^7 + 11*a^7*b^9 + 15*a^5*b^11 + 3*a^3*b^13 - a*b^15)*c^2*d +
(a^16 - 8*a^14*b^2 - 4*a^12*b^4 + 72*a^10*b^6 + 134*a^8*b^8 + 72*a^6*b^10 - 4*a^4*b^12 - 8*a^2*b^14 + b^16)*c
*d^2)*cos(f*x + e) + (16*(a^14*b^2 + 2*a^12*b^4 - a^10*b^6 - 4*a^8*b^8 - a^6*b^10 + 2*a^4*b^12 + a^2*b^14)*c^2
*d - 8*(a^15*b - 3*a^13*b^3 - 15*a^11*b^5 - 11*a^9*b^7 + 11*a^7*b^9 + 15*a^5*b^11 + 3*a^3*b^13 - a*b^15)*c*d^2
+ (a^16 - 8*a^14*b^2 - 4*a^12*b^4 + 72*a^10*b^6 + 134*a^8*b^8 + 72*a^6*b^10 - 4*a^4*b^12 - 8*a^2*b^14 + b^16)
*d^3)*sin(f*x + e))/cos(f*x + e))*((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4))^(3/4) -
sqrt(2)*((8*(a^8*b^2 + a^6*b^4 - a^4*b^6 - a^2*b^8)*c^6 - 2*(3*a^9*b - 4*a^7*b^3 - 14*a^5*b^5 - 4*a^3*b^7 + 3*
a*b^9)*c^5*d + (a^10 + 11*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 - 10*a^4*b^6 - 11*a^2*b^8 - b^10)*c^4*d^2 - 4*(3*a^9*b - 4*a^7*
b^3 - 14*a^5*b^5 - 4*a^3*b^7 + 3*a*b^9)*c^3*d^3 + 2*(a^10 - a^8*b^2 - 2*a^6*b^4 + 2*a^4*b^6 + a^2*b^8 - b^10)*
c^2*d^4 - 2*(3*a^9*b - 4*a^7*b^3 - 14*a^5*b^5 - 4*a^3*b^7 + 3*a*b^9)*c*d^5 + (a^10 - 5*a^8*b^2 - 6*a^6*b^4 + 6
*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 - b^10)*d^6)*f^7*sqrt((16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*
a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/((c^4 + 2*c^2*d^2 + d^4)*f^4))*
sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + 2*(4*(a^12*b^2 + 3*a^10*b^4 + 2*a^8*
b^6 - 2*a^6*b^8 - 3*a^4*b^10 - a^2*b^12)*c^5 - (a^13*b - 2*a^11*b^3 - 17*a^9*b^5 - 28*a^7*b^7 - 17*a^5*b^9 - 2
*a^3*b^11 + a*b^13)*c^4*d + 8*(a^12*b^2 + 3*a^10*b^4 + 2*a^8*b^6 - 2*a^6*b^8 - 3*a^4*b^10 - a^2*b^12)*c^3*d^2
- 2*(a^13*b - 2*a^11*b^3 - 17*a^9*b^5 - 28*a^7*b^7 - 17*a^5*b^9 - 2*a^3*b^11 + a*b^13)*c^2*d^3 + 4*(a^12*b^2 +
3*a^10*b^4 + 2*a^8*b^6 - 2*a^6*b^8 - 3*a^4*b^10 - a^2*b^12)*c*d^4 - (a^13*b - 2*a^11*b^3 - 17*a^9*b^5 - 28*a^
7*b^7 - 17*a^5*b^9 - 2*a^3*b^11 + a*b^13)*d^5)*f^5*sqrt((16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7
*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/((c^4 + 2*c^2*d^2
+ d^4)*f^4)))*sqrt((((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c^2*d + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c*d^2 + 4
*(a^3*b - a*b^3)*d^3)*f^2*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + (a^8 + 4*a
^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^2 + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/(16*(a^6*b^2
- 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 -
12*a^2*b^6 + b^8)*d^2))*sqrt((c*cos(f*x + e) + d*sin(f*x + e))/cos(f*x + e))*((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4
*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4))^(3/4))/(16*(a^22*b^2 + 6*a^20*b^4 + 13*a^18*b^6 + 8*a^16*b^8 - 14*a^14*b^10
- 28*a^12*b^12 - 14*a^10*b^14 + 8*a^8*b^16 + 13*a^6*b^18 + 6*a^4*b^20 + a^2*b^22)*c^2*d - 8*(a^23*b + a^21*b^
3 - 21*a^19*b^5 - 85*a^17*b^7 - 134*a^15*b^9 - 70*a^13*b^11 + 70*a^11*b^13 + 134*a^9*b^15 + 85*a^7*b^17 + 21*a
^5*b^19 - a^3*b^21 - a*b^23)*c*d^2 + (a^24 - 4*a^22*b^2 - 30*a^20*b^4 + 12*a^18*b^6 + 367*a^16*b^8 + 1016*a^14
*b^10 + 1372*a^12*b^12 + 1016*a^10*b^14 + 367*a^8*b^16 + 12*a^6*b^18 - 30*a^4*b^20 - 4*a^2*b^22 + b^24)*d^3))
+ sqrt(2)*(((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c*d + 4*(a^3*b - a*b^3)*d^2)*f^3*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2
*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) - (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d*f)*sqrt((((a^4 - 6*a^2*b^2
+ b^4)*c^3 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c^2*d + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c*d^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*d^3)*f^2*sqrt((a^8 +
4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*
c^2 + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/(16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b
- 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2))*((a^8 + 4*a^6*
b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4))^(1/4)*log(((16*(a^10*b^2 - 2*a^6*b^6 + a^2*b^10)*c^4 - 8
*(a^11*b - 5*a^9*b^3 - 6*a^7*b^5 + 6*a^5*b^7 + 5*a^3*b^9 - a*b^11)*c^3*d + (a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 2
0*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*c^2*d^2 - 8*(a^11*b - 5*a^9*b^3 - 6*a^7*b^5 + 6*a^5*b^7 + 5*a^3*b^
9 - a*b^11)*c*d^3 + (a^12 - 10*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 52*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 - 10*a^2*b^10 + b^12)*d^4)*f^2*
sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4))*cos(f*x + e) + sqrt(2)*(2*(16*(a^7*b^3
- 2*a^5*b^5 + a^3*b^7)*c^4 - 8*(a^8*b^2 - 7*a^6*b^4 + 7*a^4*b^6 - a^2*b^8)*c^3*d + (a^9*b + 4*a^7*b^3 + 6*a^5
*b^5 + 4*a^3*b^7 + a*b^9)*c^2*d^2 - 8*(a^8*b^2 - 7*a^6*b^4 + 7*a^4*b^6 - a^2*b^8)*c*d^3 + (a^9*b - 12*a^7*b^3
+ 38*a^5*b^5 - 12*a^3*b^7 + a*b^9)*d^4)*f^3*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*
f^4))*cos(f*x + e) + (32*(a^11*b^3 - 2*a^7*b^7 + a^3*b^11)*c^3 - 32*(a^12*b^2 - 3*a^10*b^4 - 4*a^8*b^6 + 4*a^6
*b^8 + 3*a^4*b^10 - a^2*b^12)*c^2*d + 2*(5*a^13*b - 34*a^11*b^3 + 11*a^9*b^5 + 100*a^7*b^7 + 11*a^5*b^9 - 34*a
^3*b^11 + 5*a*b^13)*c*d^2 - (a^14 - 11*a^12*b^2 + 25*a^10*b^4 + 37*a^8*b^6 - 37*a^6*b^8 - 25*a^4*b^10 + 11*a^2
*b^12 - b^14)*d^3)*f*cos(f*x + e))*sqrt((((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c^2*d + (a^4 - 6*a^2
*b^2 + b^4)*c*d^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*d^3)*f^2*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^
2)*f^4)) + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^2 + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^
8)*d^2)/(16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^
6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2))*sqrt((c*cos(f*x + e) + d*sin(f*x + e))/cos(f*x + e))*((a^8 + 4*a^
6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4))^(1/4) + (16*(a^14*b^2 + 2*a^12*b^4 - a^10*b^6 - 4*a^8*
b^8 - a^6*b^10 + 2*a^4*b^12 + a^2*b^14)*c^3 - 8*(a^15*b - 3*a^13*b^3 - 15*a^11*b^5 - 11*a^9*b^7 + 11*a^7*b^9 +
15*a^5*b^11 + 3*a^3*b^13 - a*b^15)*c^2*d + (a^16 - 8*a^14*b^2 - 4*a^12*b^4 + 72*a^10*b^6 + 134*a^8*b^8 + 72*a
^6*b^10 - 4*a^4*b^12 - 8*a^2*b^14 + b^16)*c*d^2)*cos(f*x + e) + (16*(a^14*b^2 + 2*a^12*b^4 - a^10*b^6 - 4*a^8*
b^8 - a^6*b^10 + 2*a^4*b^12 + a^2*b^14)*c^2*d - 8*(a^15*b - 3*a^13*b^3 - 15*a^11*b^5 - 11*a^9*b^7 + 11*a^7*b^9
+ 15*a^5*b^11 + 3*a^3*b^13 - a*b^15)*c*d^2 + (a^16 - 8*a^14*b^2 - 4*a^12*b^4 + 72*a^10*b^6 + 134*a^8*b^8 + 72
*a^6*b^10 - 4*a^4*b^12 - 8*a^2*b^14 + b^16)*d^3)*sin(f*x + e))/cos(f*x + e)) - sqrt(2)*(((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^
4)*c*d + 4*(a^3*b - a*b^3)*d^2)*f^3*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) -
(a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d*f)*sqrt((((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c^
2*d + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c*d^2 + 4*(a^3*b - a*b^3)*d^3)*f^2*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6
+ b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^2 + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^
4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/(16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 + a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*
c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 + b^8)*d^2))*((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8
)/((c^2 + d^2)*f^4))^(1/4)*log(((16*(a^10*b^2 - 2*a^6*b^6 + a^2*b^10)*c^4 - 8*(a^11*b - 5*a^9*b^3 - 6*a^7*b^5
+ 6*a^5*b^7 + 5*a^3*b^9 - a*b^11)*c^3*d + (a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^
10 + b^12)*c^2*d^2 - 8*(a^11*b - 5*a^9*b^3 - 6*a^7*b^5 + 6*a^5*b^7 + 5*a^3*b^9 - a*b^11)*c*d^3 + (a^12 - 10*a^
10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 52*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 - 10*a^2*b^10 + b^12)*d^4)*f^2*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4
+ 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4))*cos(f*x + e) - sqrt(2)*(2*(16*(a^7*b^3 - 2*a^5*b^5 + a^3*b^7)*c^4 - 8*(
a^8*b^2 - 7*a^6*b^4 + 7*a^4*b^6 - a^2*b^8)*c^3*d + (a^9*b + 4*a^7*b^3 + 6*a^5*b^5 + 4*a^3*b^7 + a*b^9)*c^2*d^2
- 8*(a^8*b^2 - 7*a^6*b^4 + 7*a^4*b^6 - a^2*b^8)*c*d^3 + (a^9*b - 12*a^7*b^3 + 38*a^5*b^5 - 12*a^3*b^7 + a*b^9
)*d^4)*f^3*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4))*cos(f*x + e) + (32*(a^11*b^
3 - 2*a^7*b^7 + a^3*b^11)*c^3 - 32*(a^12*b^2 - 3*a^10*b^4 - 4*a^8*b^6 + 4*a^6*b^8 + 3*a^4*b^10 - a^2*b^12)*c^2
*d + 2*(5*a^13*b - 34*a^11*b^3 + 11*a^9*b^5 + 100*a^7*b^7 + 11*a^5*b^9 - 34*a^3*b^11 + 5*a*b^13)*c*d^2 - (a^14
- 11*a^12*b^2 + 25*a^10*b^4 + 37*a^8*b^6 - 37*a^6*b^8 - 25*a^4*b^10 + 11*a^2*b^12 - b^14)*d^3)*f*cos(f*x + e)
)*sqrt((((a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c^3 + 4*(a^3*b - a*b^3)*c^2*d + (a^4 - 6*a^2*b^2 + b^4)*c*d^2 + 4*(a^3*b - a*
b^3)*d^3)*f^2*sqrt((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)/((c^2 + d^2)*f^4)) + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a
^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*c^2 + (a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2)/(16*(a^6*b^2 - 2*a^4*b^4
+ a^2*b^6)*c^2 - 8*(a^7*b - 7*a^5*b^3 + 7*a^3*b^5 - a*b^7)*c*d + (a^8 - 12*a^6*b^2 + 38*a^4*b^4 - 12*a^2*b^6 +
b^8)*d^2))*sqrt((c*cos(f*x + e) + d*sin(f*x + e))/cos(f*x + e))*((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b
^8)/((c^2 + d^2)*f^4))^(1/4) + (16*(a^14*b^2 + 2*a^12*b^4 - a^10*b^6 - 4*a^8*b^8 - a^6*b^10 + 2*a^4*b^12 + a^2
*b^14)*c^3 - 8*(a^15*b - 3*a^13*b^3 - 15*a^11*b^5 - 11*a^9*b^7 + 11*a^7*b^9 + 15*a^5*b^11 + 3*a^3*b^13 - a*b^1
5)*c^2*d + (a^16 - 8*a^14*b^2 - 4*a^12*b^4 + 72*a^10*b^6 + 134*a^8*b^8 + 72*a^6*b^10 - 4*a^4*b^12 - 8*a^2*b^14
+ b^16)*c*d^2)*cos(f*x + e) + (16*(a^14*b^2 + 2*a^12*b^4 - a^10*b^6 - 4*a^8*b^8 - a^6*b^10 + 2*a^4*b^12 + a^2
*b^14)*c^2*d - 8*(a^15*b - 3*a^13*b^3 - 15*a^11*b^5 - 11*a^9*b^7 + 11*a^7*b^9 + 15*a^5*b^11 + 3*a^3*b^13 - a*b
^15)*c*d^2 + (a^16 - 8*a^14*b^2 - 4*a^12*b^4 + 72*a^10*b^6 + 134*a^8*b^8 + 72*a^6*b^10 - 4*a^4*b^12 - 8*a^2*b^
14 + b^16)*d^3)*sin(f*x + e))/cos(f*x + e)) + 8*(a^8*b^2 + 4*a^6*b^4 + 6*a^4*b^6 + 4*a^2*b^8 + b^10)*sqrt((c*c
os(f*x + e) + d*sin(f*x + e))/cos(f*x + e)))/((a^8 + 4*a^6*b^2 + 6*a^4*b^4 + 4*a^2*b^6 + b^8)*d*f)

________________________________________________________________________________________

giac [F(-1)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \text {Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.27, size = 5680, normalized size = 42.39 \[ \text {output too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^(1/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {{\left (b \tan \left (f x + e\right ) + a\right )}^{2}}{\sqrt {d \tan \left (f x + e\right ) + c}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))^2/(c+d*tan(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*tan(f*x + e) + a)^2/sqrt(d*tan(f*x + e) + c), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [B]  time = 7.23, size = 2287, normalized size = 17.07 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a + b*tan(e + f*x))^2/(c + d*tan(e + f*x))^(1/2),x)

[Out]

(2*b^2*(c + d*tan(e + f*x))^(1/2))/(d*f) - atan(((((16*(2*b^2*d^3*f^2 - 2*a^2*d^3*f^2 + 4*a*b*c*d^2*f^2))/f^3
- 64*c*d^2*(c + d*tan(e + f*x))^(1/2)*(-(a*b^3*4i - a^3*b*4i + a^4 + b^4 - 6*a^2*b^2)/(4*(c*f^2 - d*f^2*1i)))^
(1/2))*(-(a*b^3*4i - a^3*b*4i + a^4 + b^4 - 6*a^2*b^2)/(4*(c*f^2 - d*f^2*1i)))^(1/2) - (16*(c + d*tan(e + f*x)
)^(1/2)*(a^4*d^2 + b^4*d^2 - 6*a^2*b^2*d^2))/f^2)*(-(a*b^3*4i - a^3*b*4i + a^4 + b^4 - 6*a^2*b^2)/(4*(c*f^2 -
d*f^2*1i)))^(1/2)*1i - (((16*(2*b^2*d^3*f^2 - 2*a^2*d^3*f^2 + 4*a*b*c*d^2*f^2))/f^3 + 64*c*d^2*(c + d*tan(e +
f*x))^(1/2)*(-(a*b^3*4i - a^3*b*4i + a^4 + b^4 - 6*a^2*b^2)/(4*(c*f^2 - d*f^2*1i)))^(1/2))*(-(a*b^3*4i - a^3*b
*4i + a^4 + b^4 - 6*a^2*b^2)/(4*(c*f^2 - d*f^2*1i)))^(1/2) + (16*(c + d*tan(e + f*x))^(1/2)*(a^4*d^2 + b^4*d^2
- 6*a^2*b^2*d^2))/f^2)*(-(a*b^3*4i - a^3*b*4i + a^4 + b^4 - 6*a^2*b^2)/(4*(c*f^2 - d*f^2*1i)))^(1/2)*1i)/((((
16*(2*b^2*d^3*f^2 - 2*a^2*d^3*f^2 + 4*a*b*c*d^2*f^2))/f^3 - 64*c*d^2*(c + d*tan(e + f*x))^(1/2)*(-(a*b^3*4i -
a^3*b*4i + a^4 + b^4 - 6*a^2*b^2)/(4*(c*f^2 - d*f^2*1i)))^(1/2))*(-(a*b^3*4i - a^3*b*4i + a^4 + b^4 - 6*a^2*b^
2)/(4*(c*f^2 - d*f^2*1i)))^(1/2) - (16*(c + d*tan(e + f*x))^(1/2)*(a^4*d^2 + b^4*d^2 - 6*a^2*b^2*d^2))/f^2)*(-
(a*b^3*4i - a^3*b*4i + a^4 + b^4 - 6*a^2*b^2)/(4*(c*f^2 - d*f^2*1i)))^(1/2) + (((16*(2*b^2*d^3*f^2 - 2*a^2*d^3
*f^2 + 4*a*b*c*d^2*f^2))/f^3 + 64*c*d^2*(c + d*tan(e + f*x))^(1/2)*(-(a*b^3*4i - a^3*b*4i + a^4 + b^4 - 6*a^2*
b^2)/(4*(c*f^2 - d*f^2*1i)))^(1/2))*(-(a*b^3*4i - a^3*b*4i + a^4 + b^4 - 6*a^2*b^2)/(4*(c*f^2 - d*f^2*1i)))^(1
/2) + (16*(c + d*tan(e + f*x))^(1/2)*(a^4*d^2 + b^4*d^2 - 6*a^2*b^2*d^2))/f^2)*(-(a*b^3*4i - a^3*b*4i + a^4 +
b^4 - 6*a^2*b^2)/(4*(c*f^2 - d*f^2*1i)))^(1/2) - (32*(a*b^5*d^2 + a^5*b*d^2 + 2*a^3*b^3*d^2))/f^3))*(-(a*b^3*4
i - a^3*b*4i + a^4 + b^4 - 6*a^2*b^2)/(4*(c*f^2 - d*f^2*1i)))^(1/2)*2i - atan(((((16*(2*b^2*d^3*f^2 - 2*a^2*d^
3*f^2 + 4*a*b*c*d^2*f^2))/f^3 - 64*c*d^2*(c + d*tan(e + f*x))^(1/2)*(-(4*a*b^3 - 4*a^3*b + a^4*1i + b^4*1i - a
^2*b^2*6i)/(4*(c*f^2*1i - d*f^2)))^(1/2))*(-(4*a*b^3 - 4*a^3*b + a^4*1i + b^4*1i - a^2*b^2*6i)/(4*(c*f^2*1i -
d*f^2)))^(1/2) - (16*(c + d*tan(e + f*x))^(1/2)*(a^4*d^2 + b^4*d^2 - 6*a^2*b^2*d^2))/f^2)*(-(4*a*b^3 - 4*a^3*b
+ a^4*1i + b^4*1i - a^2*b^2*6i)/(4*(c*f^2*1i - d*f^2)))^(1/2)*1i - (((16*(2*b^2*d^3*f^2 - 2*a^2*d^3*f^2 + 4*a
*b*c*d^2*f^2))/f^3 + 64*c*d^2*(c + d*tan(e + f*x))^(1/2)*(-(4*a*b^3 - 4*a^3*b + a^4*1i + b^4*1i - a^2*b^2*6i)/
(4*(c*f^2*1i - d*f^2)))^(1/2))*(-(4*a*b^3 - 4*a^3*b + a^4*1i + b^4*1i - a^2*b^2*6i)/(4*(c*f^2*1i - d*f^2)))^(1
/2) + (16*(c + d*tan(e + f*x))^(1/2)*(a^4*d^2 + b^4*d^2 - 6*a^2*b^2*d^2))/f^2)*(-(4*a*b^3 - 4*a^3*b + a^4*1i +
b^4*1i - a^2*b^2*6i)/(4*(c*f^2*1i - d*f^2)))^(1/2)*1i)/((((16*(2*b^2*d^3*f^2 - 2*a^2*d^3*f^2 + 4*a*b*c*d^2*f^
2))/f^3 - 64*c*d^2*(c + d*tan(e + f*x))^(1/2)*(-(4*a*b^3 - 4*a^3*b + a^4*1i + b^4*1i - a^2*b^2*6i)/(4*(c*f^2*1
i - d*f^2)))^(1/2))*(-(4*a*b^3 - 4*a^3*b + a^4*1i + b^4*1i - a^2*b^2*6i)/(4*(c*f^2*1i - d*f^2)))^(1/2) - (16*(
c + d*tan(e + f*x))^(1/2)*(a^4*d^2 + b^4*d^2 - 6*a^2*b^2*d^2))/f^2)*(-(4*a*b^3 - 4*a^3*b + a^4*1i + b^4*1i - a
^2*b^2*6i)/(4*(c*f^2*1i - d*f^2)))^(1/2) - (32*(a*b^5*d^2 + a^5*b*d^2 + 2*a^3*b^3*d^2))/f^3 + (((16*(2*b^2*d^3
*f^2 - 2*a^2*d^3*f^2 + 4*a*b*c*d^2*f^2))/f^3 + 64*c*d^2*(c + d*tan(e + f*x))^(1/2)*(-(4*a*b^3 - 4*a^3*b + a^4*
1i + b^4*1i - a^2*b^2*6i)/(4*(c*f^2*1i - d*f^2)))^(1/2))*(-(4*a*b^3 - 4*a^3*b + a^4*1i + b^4*1i - a^2*b^2*6i)/
(4*(c*f^2*1i - d*f^2)))^(1/2) + (16*(c + d*tan(e + f*x))^(1/2)*(a^4*d^2 + b^4*d^2 - 6*a^2*b^2*d^2))/f^2)*(-(4*
a*b^3 - 4*a^3*b + a^4*1i + b^4*1i - a^2*b^2*6i)/(4*(c*f^2*1i - d*f^2)))^(1/2)))*(-(4*a*b^3 - 4*a^3*b + a^4*1i
+ b^4*1i - a^2*b^2*6i)/(4*(c*f^2*1i - d*f^2)))^(1/2)*2i

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \[ \int \frac {\left (a + b \tan {\left (e + f x \right )}\right )^{2}}{\sqrt {c + d \tan {\left (e + f x \right )}}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(f*x+e))**2/(c+d*tan(f*x+e))**(1/2),x)

[Out]

Integral((a + b*tan(e + f*x))**2/sqrt(c + d*tan(e + f*x)), x)

________________________________________________________________________________________